O juiz pode aplicar medidas cautelares contra vereador, dentre elas a medida de afastamento de suas funções (art. 319, VI, do CPP)?

Os vereadores possuem foro por prerrogativa de função?

Em regra, não. Os vereadores, em regra, são julgados criminalmente por juízes de 1ª instância.

Exceção: a Constituição Estadual pode prever que o Tribunal de Justiça será competente para julgar vereadores. Essa previsão da CE é válida:

(...) Não afronta a Constituição da República, a norma de Constituição estadual que, disciplinando competência originária do Tribunal de Justiça, lha atribui para processar e julgar vereador.

STF. 2ª Turma. RE 464935, Rel. Min. Cezar Peluso, julgado em 03/06/2008.

Imagine que determinado vereador está respondendo a processo em 1ª instância por crimes contra a Administração Pública. O juiz poderá aplicar medidas cautelares contra esse vereador, dentre elas a medida de afastamento de suas funções (art. 319, VI, do CPP)?

SIM. Vale ressaltar que as normas de imunidade formal previstas no art. 53, § 2º da CF/88 para Deputados Federais e Senadores NÃO se aplicam para os vereadores. Nesse sentido:

(...) Os edis, ao contrário do que ocorre com os membros do Congresso Nacional e os deputados estaduais não gozam da denominada incoercibilidade pessoal relativa (freedom from arrest), ainda que algumas Constituições estaduais lhes assegurem prerrogativa de foro. (...)

STF. 1ª Turma. HC 94059, Rel. Min. Ricardo Lewandowski, julgado em 06/05/2008.

Assim, é plenamente possível que o juiz determine a aplicação de medida cautelar de afastamento das funções de vereador (e de Presidente da Câmara Municipal) desde que o magistrado o faça fundamentadamente.

Para que haja esse afastamento das funções é necessária autorização da Câmara dos Vereadores?
NÃO. Não existe na legislação tal exigência.

Resumindo:

É possível que o Juiz de primeiro grau, fundamentadamente, imponha a parlamentares municipais as medidas cautelares de afastamento de suas funções legislativas sem necessidade de remessa à Casa respectiva para deliberação.

STJ. 5ª Turma. RHC 88.804-RN, Rel. Min. Reynaldo Soares da Fonseca, julgado em 07/11/2017 (Info 617).